수학계의 반 고흐, 프레게에 대해 알아보자

1+1=2

“왜 일 더하기 1은 2예요? 찰흙은 1+1=1 이잖아요.“

누가 얘기를 했는지 모르지만 당시에 들었을 땐 정말 신박했다. (알고보니 에디슨이 얘기했다고 뒤에 알게됨)

그런데 이런 의문에 대한 생각의 뿌리를 만든 수학철학자가 있다고? 이건 못참지.

 

Friedrich Ludwig Gottlob Frege(프리드리히 루드위그 코트로브 프레게)

그에 대해 알아보자.

 

Q. 왜 1+1은 2인가?

A. 당연한 거잖아. 1 더하기 1은 2잖아!! 맞잖아!!

Q. 장애학생에게 1+1을 가르친다고 생각해보세요 ^.^

A.

우선 다수준(새싹) 학생들은 덧셈의 의미를 전혀 모르는 상태이다.

이 상태에서는 아무리 기본교육과정이라도 성취기준의 하위호환으로 가르친다.

다 수준 학생들은 적어도 중학교 쯤에 더하기를 가르칠 수 있지 않을까 생각한다.

가수준(열매) 학생들은 이미 더하거나 뺄 줄 아는 상태이고 덧셈식을 알려주기만 하면 된다.

나수준(나무) 학생 역시 더하는 것을 아는 학생이다.

출처: http://www.gne.go.kr/upload_data/board_data/BBS_0000191/157284068230385.pdf

 

이를 통해 중도중복장애학생을 제외한 일반 장애학생들조차 1+1=2인 것을 당연하게 생각한다.

 

당신은 왜 ‘2+3=5.’가 참이라고 생각하는가? 프레게의 답은 논리적 참에 있었다. 논리적으로 참인 문장이란 너무나도 자명해서 특별한 증명이나 정당화가 필요 없는 문장을 말한다. 예를 들어, ‘지금 비가 오거나 비가 오지 않는다.’와 같은 문장이 논리적으로 참인 문장이다. 이제 이런 문장을 논리적 진리라고 부르자.

[네이버 지식백과] 프레게 [Friedrich Ludwig Gottlob Frege] - 실패한 철학적 기획으로 지성사의 전환점을 마련한 (생활 속의 철학, 박일호)

 

프레게는 이러한 1+1=2인 식을 논리적 진리라고 하였다. 증명이 필요가 없기 때문에!

 

Q. 1+1=2인 이유

학생들은 왜 1+1=2임을 바로 알아챌까?

구체적인 대상(구체물) -> 일대일 대응(반구체물) -> 기호(추상물)로 반복 연습하여 알게되었고

더한다는 것은 학생들이 이미 동일한 것끼리만 더할 수 있다는 약속을 인지했기 때문이다.

Q. 근데 1+1=2인걸 머리로는 알지만 더 증명하고 싶어하는 사람들이 있잖아요. 그거 대신 알려주세요.

A. 자세한 것은 페아노 공리계를 알아보시오.

출처: https://sigan.kr/bbs/board.php?bo_table=cm_free&wr_id=1720

 

즉 논리학에서 중요한 것은 문장들의 참/거짓이다. 이렇듯 우리가 일상적으로 사용하는 언어의 문장들이 가지고 있는 뉘앙스는 논리학에서 별 역할을 하지 못한다. 바로 이 이유에서 논리학은 우리의 일상적인 언어의 뉘앙스와 같은 특징이 배제된 특별한 언어를 필요로 한다. 그리고 이 목적을 위해서 프레게가 쓴 책이 바로 『개념표기법』이다.

[네이버 지식백과] 프레게 [Friedrich Ludwig Gottlob Frege] - 실패한 철학적 기획으로 지성사의 전환점을 마련한 (생활 속의 철학, 박일호)

 

그치. 1+1=2지 무슨 토를 달아. 왜냐하면 참이니까.

그렇다면 우리가 참/거짓을 나타내려면 논리학을 공부하고 그 중에서도

‘특별한’ 언어가 필요하다.

 

책에서 다양한 기호가 있다.

‘￢(~이 아니다)’,

‘→(~이면 …다)’,

‘↔(~인 경우에, 그리고 그런 경우에만 …다.)’,

‘∀(모든)’

 

논리적 전제를 만들기 위한 첫 번째! 바로 숫자-> 논리적 언어로 정의하기

그것은 우선 참인 수에 관한 문장에 등장하는 0이나 1과 같은 수를 순수 논리적 언어로 정의하는 것이다.

 

하지만, 이런 프레게의 논리주의적 기획은 한 방에 무너진다.

사실 대부분의 집합은 자기 자신을 원소로 갖지 않는다. 사람들의 집합은 사람이 아니다. 따라서 사람들의 집합 속에는 사람들의 집합이 속하지 않는다.

(이런 논증은 유명한 이발사의 역설과 유사하다. 스스로 면도하지 못하는 사람들은 모두 면도해주고 스스로 면도하는 사람은 면도해주지 않는 이발사가 있다고 생각해봐라. 그럼 그 이발사는 누가 면도해주는가?)

[네이버 지식백과] 프레게 [Friedrich Ludwig Gottlob Frege] - 실패한 철학적 기획으로 지성사의 전환점을 마련한 (생활 속의 철학, 박일호)